Dans les marais salants, le sel récolté est stocké sur une surface plane. Il est admis qu'un tas de sel a toujours la forme d'un cône de révolution. Cette particularité géométrique est souvent l'objet d'exercices de mathématiques, notamment au niveau du Brevet des collèges en France, permettant d'appliquer des concepts tels que le théorème de Thalès, le calcul de volume et la résolution d'équations. Comprendre ces mécanismes est essentiel pour aborder sereinement les problèmes de géométrie dans l'espace.
Détermination de la Hauteur d'un Cône de Sel
Pascal souhaite déterminer la hauteur d'un cône de sel dont le diamètre est de 5 mètres. Pour cela, il utilise un bâton de 1 mètre de long et réalise des mesures qui sont schématisées.
Raisonnement et Calculs pour la Hauteur
Pour démontrer que la hauteur de ce cône de sel est égale à 2,50 mètres, nous pouvons nous appuyer sur le théorème de Thalès.
Les droites (BC) et (OS) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (OA). Par conséquent, elles sont parallèles entre elles. Les points A, B et O sont alignés, tout comme les points A, C et S. Ces conditions permettent d'appliquer le théorème de Thalès.
En utilisant le théorème de Thalès, la relation est la suivante :AS/AC = AO/AB = OS/BC
À partir des mesures de Pascal, si nous considérons le bâton de 1 mètre comme BC, et les distances mesurées sur le terrain, nous pouvons établir les proportions nécessaires. Par exemple, si la distance de A à la base du bâton est AB et de A à la base du cône est AO, et que la hauteur du bâton est BC, alors la hauteur du cône OS peut être calculée.
Supposons que le schéma de Pascal indique les mesures suivantes :
- Hauteur du bâton (BC) = 1 mètre
- Distance de A à la base du bâton (AB)
- Distance de A à la base du cône (AO)
- Le rayon du cône est la moitié de son diamètre, soit 5 m / 2 = 2,5 m. Ce rayon correspond à la valeur OS dans le triangle formé par la hauteur, le rayon et l'arête du cône.
En se basant sur les principes du théorème de Thalès, on aurait une proportion du type :OS / BC = Rayon du cône / (une autre mesure liée à la base du bâton)
Plus précisément, en supposant que le schéma représente une situation où le bâton est dressé verticalement et qu'il y a un point A d'où l'on regarde le sommet du cône et le sommet du bâton, les triangles formés sont semblables. Si la distance horizontale entre le point d'observation A et le bâton est petite (par exemple, nulle, le bâton étant utilisé comme référence verticale proche du cône), et que l'on considère les triangles formés par la vision du sommet du cône et du bâton depuis un point A au sol, nous pouvons écrire :
Hauteur du cône / (moitié du diamètre du cône) = Hauteur du bâton / (distance horizontale du bâton au point A si le point A est aligné avec le centre du cône et la base du bâton).
Cependant, l'énoncé est plus direct. Il suffit d'expliquer brièvement le raisonnement suivi et de présenter clairement les calculs. Dans un contexte de brevet, cela implique souvent un cas de figure simplifié où les mesures sont directement proportionnelles. Si le diamètre du cône est de 5 mètres, son rayon est de 2,5 mètres. Si la hauteur est égale au rayon, alors la hauteur serait de 2,50 mètres. Cette égalité entre la hauteur et le rayon est une caractéristique particulière de certains cônes, et dans cet exercice, c'est ce qui est demandé de démontrer, en s'appuyant sur les schémas de Pascal.
Les schémas de Pascal, qui ne sont pas explicitement reproduits ici mais mentionnés comme base de la démonstration, montreraient probablement des triangles semblables où le rapport de la hauteur à la base (ou rayon) est constant. Si l'on suppose, d'après les schémas, que le triangle formé par la hauteur du cône et son rayon est semblable à celui formé par le bâton et une distance correspondante, et que les mesures fournies par Pascal mènent à une proportionnalité directe, on aboutirait à une hauteur de 2,50 mètres pour un rayon de 2,50 mètres.
Le raisonnement est que les droites (BC) et (OS) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (OA), elles sont donc parallèles entre elles. Les points A, B et O sont alignés, ainsi que les points A, C et S. On peut donc appliquer le théorème de Thalès.Si, par exemple, le schéma montre que la hauteur du bâton (1 m) est à une certaine distance du point A, et le sommet du cône est à une autre distance, le rapport des hauteurs est égal au rapport des distances.En simplifiant, si le point O représente le centre de la base du cône et S son sommet, et A est un point d'observation aligné avec la base du bâton B et le centre O, et C est le sommet du bâton.La proportion serait : OS/BC = AO/AB.Avec le diamètre du cône de 5 mètres, le rayon OS serait de 2,5 mètres. Si le calcul basé sur les schémas aboutit à OS = 2,50 mètres, alors la démonstration est faite.
Calcul du Volume de Sel
Une fois la hauteur du cône déterminée, il est possible de calculer le volume de sel qu'il contient.
Application de la Formule du Volume du Cône
La formule pour le volume d'un cône est donnée par :V cône = π × rayon² × hauteur / 3
Dans notre cas :
- Le rayon est la moitié du diamètre, donc 5 mètres / 2 = 2,5 mètres.
- La hauteur, comme démontré précédemment, est de 2,50 mètres.
Substituons ces valeurs dans la formule :V cône = π × (2,5)² × 2,5 / 3V cône = π × 6,25 × 2,5 / 3V cône = π × 15,625 / 3
Pour le calcul numérique :V cône ≈ 3,14159 × 15,625 / 3V cône ≈ 49,08738 / 3V cône ≈ 16,36246 m³
Arrondissons le résultat au m³ près, comme demandé :V cône ≈ 16 m³
Le volume de sel contenu dans ce cône est d'environ 16 mètres cubes.
Stockage du Sel : Détermination du Rayon Minimum
Le sel est ensuite stocké dans un entrepôt sous la forme de cônes de volume 1 000 m³. Pour des raisons de sécurité, la hauteur d'un tel cône de sel ne doit pas dépasser 6 mètres. Il est nécessaire de déterminer le rayon minimum que doit avoir la base.
Calcul du Rayon en Fonction du Volume et de la Hauteur
Nous utilisons à nouveau la formule du volume du cône :V cône = π × rayon² × hauteur / 3
Nous connaissons :
- Le volume V cône = 1 000 m³
- La hauteur maximale h = 6 mètres
Nous cherchons le rayon (r) minimum.
Réarrangeons la formule pour isoler le rayon :3 × V cône = π × rayon² × hauteurrayon² = (3 × V cône) / (π × hauteur)rayon = √((3 × V cône) / (π × hauteur))
Substituons les valeurs :rayon = √((3 × 1 000) / (π × 6))rayon = √(3 000 / (6π))rayon = √(500 / π)
Calculons la valeur numérique :rayon ≈ √(500 / 3,14159)rayon ≈ √(159,1549)rayon ≈ 12,61566 mètres
Arrondissons le résultat au décimètre près. Un décimètre est 0,1 mètre.rayon ≈ 12,6 mètres
Il faut prévoir un rayon minimum d'environ 12,6 mètres pour la base du cône de sel afin que sa hauteur ne dépasse pas 6 mètres pour un volume de 1 000 m³.
Le Contexte des Marais Salants et la Récolte du Sel
Les marais salants sont des étendues d'eau peu profondes où l'eau de mer est évaporée sous l'action du soleil et du vent pour en extraire le sel. Ce processus, millénaire, est un exemple d'ingénierie naturelle et humaine.
Processus de Récolte
Dans les marais salants, le sel récolté est stocké sur une surface plane. La récolte du gros sel s'effectue sur des carreaux, qui sont des carrés de 4 mètres de côté. Chaque jour, un saunier peut récolter le gros sel sur environ 25 carreaux.
La fleur de sel, quant à elle, est la mince couche de cristaux blancs qui se forme et affleure la surface des marais salants. Elle est cueillie chaque soir, car sa formation est un processus délicat qui dépend des conditions météorologiques.
Quantités de Sel Récoltées
Pour prévoir la production, les sauniers relèvent la masse des tas de gros sel. Par exemple, une série statistique de masses en kilogrammes par carreau pourrait être : 34 - 39 - 31 - 45 - 40 - 32 - 36 - 45 - 42 - 34 - 30 - 48 - 43 - 32 - 39 - 40 - 42 - 38 - 46 - 31 - 38 - 43 - 37 - 47 - 33.
Ces données peuvent être analysées statistiquement :
Étendue de la Série Statistique
L'étendue (e) d'une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de cette série.e = 48 (plus grande valeur) - 30 (plus petite valeur) = 18.
Médiane de la Série Statistique
La médiane (M) d'une série statistique est la valeur qui partage cette série, rangée par ordre croissant (ou décroissant), en deux parties de même effectif.Rangeons la série statistique en ordre croissant :30 - 31 - 31 - 32 - 32 - 33 - 34 - 34 - 36 - 37 - 38 - 38 - 39 - 39 - 40 - 40 - 42 - 42 - 43 - 43 - 45 - 45 - 46 - 47 - 48.Il y a 25 valeurs dans cette série. La médiane est la 13ème valeur.M = 39.Interprétation : 50 % des valeurs de la série sont inférieures à 39 kg, et 50 % des valeurs sont supérieures à 39 kg.
Masse Moyenne
La masse moyenne (m) d'une série statistique est égale au quotient de la somme de toutes les valeurs de la série par l'effectif total.Somme des masses = 34 + 39 + 31 + 45 + 40 + 32 + 36 + 45 + 42 + 34 + 30 + 48 + 43 + 32 + 39 + 40 + 42 + 38 + 46 + 31 + 38 + 43 + 37 + 47 + 33 = 965 kg.Effectif total = 25 carreaux.m = 965 / 25 = 38,6 kg.La masse moyenne des tas de gros sel pour ce premier jour est de 38,6 kg.
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Transport du Sel Récolté
Pour transporter la récolte, une brouette est utilisée. Le volume de cette brouette peut être calculé.
Calcul du Volume d'une Brouette
La brouette peut être modélisée comme un prisme droit dont la base est un trapèze.L'aire A de la base, qui est un trapèze, est calculée par la formule :A = (grande base + petite base) × hauteur / 2
Si les dimensions de la brouette sont par exemple : grande base = 70 cm, petite base = 40 cm, hauteur du trapèze = 35 cm, et la hauteur du prisme (longueur de la brouette) = 40 cm.
A = (70 + 40) × 35 / 2 = 110 × 35 / 2 = 3850 / 2 = 1 925 cm².
Le volume V de la brouette est :V = aire de la base × hauteur du prisme = 1 925 cm² × 40 cm = 77 000 cm³.
Sachant que 1 litre = 1 dm³ = 1 000 cm³, on convertit le volume en litres :V = 77 000 cm³ / 1 000 cm³/L = 77 litres.La brouette a donc un volume de 77 litres.
Masse de la Fleur de Sel dans une Brouette
Sachant que 1 litre de fleur de sel pèse 900 grammes, nous pouvons calculer la masse du contenu d'une brouette remplie de fleur de sel.Masse (P) = volume × masse volumique = 77 litres × 900 grammes/litre = 69 300 grammes.Convertissons cette masse en kilogrammes, sachant que 1 kg = 1 000 g :P = 69 300 g / 1 000 g/kg = 69,3 kg.Une brouette remplie de fleur de sel pèse 69,3 kg.
Compétences Mobilisées dans les Exercices de Brevet
Les exercices comme celui sur la récolte de sel sollicitent plusieurs compétences fondamentales en mathématiques, souvent évaluées lors du Brevet :
- Géométrie dans l'espace : Comprendre et calculer des volumes de solides courants comme le cône de révolution.
- Géométrie dans le plan : Application du théorème de Thalès pour résoudre des problèmes de distances et de hauteurs, en reconnaissant des situations de triangles semblables.
- Calcul numérique et littéral : Mise en équation et résolution d'équations pour trouver des inconnues (hauteur, rayon), ainsi que la manipulation de formules et l'arrondi de résultats.
- Statistiques : Calcul de l'étendue, de la médiane et de la moyenne d'une série statistique, et interprétation de ces indicateurs.
- Résolution de problèmes : Analyser une situation concrète, la modéliser mathématiquement et choisir les outils appropriés pour la résoudre.
- Communication mathématique : Expliquer le raisonnement suivi et présenter clairement les calculs, même si une démonstration rédigée n'est pas toujours attendue dans sa forme la plus complète. La trace de la recherche, même non terminée, est prise en compte dans la notation.
Ces compétences sont transversales et essentielles pour une bonne maîtrise des mathématiques au collège.
Les Apports des Sciences Naturelles dans la Compréhension des Végétaux
Bien que l'exercice principal porte sur la géométrie et le sel, d'autres sujets de sciences, comme l'absorption de l'eau et des sels minéraux par les végétaux, peuvent également être abordés dans un contexte scolaire. Ces sujets illustrent l'interconnexion des disciplines.
Absorption Racinaire des Végétaux
L'eau et les sels minéraux comme l'azote, le phosphore et le potassium sont indispensables pour satisfaire les besoins nutritifs des végétaux. L'absorption de ces substances a lieu principalement au niveau des racines.
Une racine est constituée de plusieurs zones distinctes :
- La coiffe : Protection de l'extrémité de la racine.
- La zone de croissance (ou d'élongation) : Responsable de l'allongement de la racine.
- La zone pilifère : Caractérisée par la présence de poils absorbants, c'est la principale zone d'absorption de l'eau et des sels minéraux.
- La zone subéreuse (ou de maturation) : Zone où les tissus se lignifient et assurent le transport.
Pour déterminer quelle(s) zone(s) de la racine absorbe l'eau et les sels minéraux, des expériences peuvent être menées, en plaçant différentes parties de la racine dans l'eau minéralisée ou dans l'huile. L'huile, moins dense que l'eau, flotte à sa surface et n'est pas absorbable par la plante.
Expériences sur l'Absorption Racinaire
Considérons une expérience avec trois tubes :
- Tube 1 : La zone pilifère est dans l'eau minéralisée, les autres zones (croissance, coiffe, subéreuse) sont dans l'huile. Le végétal vit et se développe.
- Tube 2 : La zone de croissance et la coiffe sont dans l'eau minéralisée, la zone pilifère et subéreuse sont dans l'huile. Le végétal meurt au bout de quelques jours.
- Tube 3 : Toute la racine est dans l'eau minéralisée. Le végétal vit et se développe.
Ces résultats permettent de tester des hypothèses.Hypothèse testée : Hypothèse 3 : la zone pilifère absorbe l'eau et les sels minéraux.
Pour tester l'hypothèse « La zone de croissance est aussi une zone d'absorption d'eau et de sels minéraux », une expérience supplémentaire serait nécessaire. Elle pourrait consister en un tube où seule la zone de croissance est en contact avec l'eau minéralisée, les autres zones étant isolées par l'huile. Si le végétal vit et se développe, l'hypothèse serait validée. Sinon, elle serait réfutée.
Absorption de l'Azote et Amélioration des Cultures
L'azote est un élément crucial pour la croissance des végétaux et la production agricole.
Pratiques Agricoles pour l'Apport d'Azote
Deux pratiques agricoles peuvent être comparées pour satisfaire les besoins en azote d'une plante non légumineuse (comme le blé) :
Ajout d'engrais chimique azoté : Cette pratique consiste à apporter de l'engrais chimique azoté chaque année. Cependant, un apport excessif peut entraîner le lessivage du surplus d'azote dans les cours d'eau, perturbant les écosystèmes et provoquant des pollutions.
Utilisation des bactéries Rhizobium : Une alternative est la culture de légumineuses (pois chiche, luzerne, etc.) l'année précédant la culture de céréales. Les racines de légumineuses possèdent des nodosités qui abritent des bactéries Rhizobium. Ces bactéries, naturellement présentes dans le sol, sont capables de capter l'azote atmosphérique et de le transformer en azote utilisable par les végétaux. Après la récolte des légumineuses, les restes (feuilles, racines, nodosités) enrichissent le sol en azote, qui est ensuite utilisé par les céréales cultivées.
Comparaison des Pratiques Agricoles
En comparant ces deux pratiques, on observe que l'ajout d'engrais chimique azoté offre un apport direct et rapide d'azote, mais il présente un risque environnemental significatif en cas de surdosage, menant à la pollution des eaux. La pratique utilisant les bactéries Rhizobium via les légumineuses est une approche plus écologique et durable. Elle repose sur un processus naturel de fixation de l'azote atmosphérique, enrichissant le sol de manière organique et réduisant le besoin en engrais de synthèse, minimisant ainsi l'impact environnemental.
Des études, comme celles sur la quantité de matière sèche produite par le pois chiche dans différentes conditions, montrent l'efficacité des légumineuses. Par exemple, une culture de pois chiche avec inoculation par Rhizobium peut entraîner une production de matière sèche supérieure à celle sans inoculation ou avec un apport d'azote minéral initial, confirmant l'importance de cette symbiose pour la fertilité des sols et la production agricole durable.
En résumé, l'exercice sur la récolte de sel, bien que centré sur les mathématiques, s'inscrit dans un contexte plus large de production et de gestion des ressources naturelles, et peut être mis en parallèle avec des concepts biologiques et environnementaux.