La Loi de Composition Interne : Fondements et Propriétés en Algèbre

Bienvenue sur notre espace de progrès en mathématiques, où nous explorons les notions fondamentales de manière approfondie et accessible. Aujourd’hui, nous allons nous plonger dans une notion clé en algèbre : la loi de composition interne, un concept fondamental de l'algèbre. C’est une règle qui permet de « composer » deux éléments d’un ensemble pour en obtenir un troisième, qui doit lui-même appartenir à l’ensemble. Les lois internes sont fondamentales dans de nombreux domaines des mathématiques, y compris l’arithmétique, l’algèbre, et au-delà.

Définition Formelle d'une Loi de Composition Interne

On appelle loi de composition interne, souvent notée (\ast ), dans un ensemble (E), une application de (E^{2}) dans (E). Cette application fait correspondre à tout couple ordonné ((a,b)) de (E^{2}) un élément unique (c = a \ast b) de (E). Le mot « interne » est crucial, il signifie que le résultat de la composition de deux éléments de (E) doit obligatoirement rester dans (E).

Dans le domaine des mathématiques, une loi de composition interne est une opération binaire qui combine deux éléments d’un ensemble pour donner un troisième élément qui appartient également à cet ensemble. En d’autres termes, si nous avons un ensemble E et une opération * définie sur E, alors pour tous les éléments a et b dans E, a*b est également dans E.

La notation de l'ensemble (E) muni de la loi (\ast ) est ((E, \ast )).Une loi de composition interne peut être formalisée comme suit :(\ast : \left{ \begin{array}{ccc} E\times E & \to & E \ (a,b) & \mapsto & a \ast b \end{array} \right.)

Exemples Concrets de Lois de Composition Interne

L'addition et la multiplication sont des lois de composition interne dans (N), (Z), (Q) et (R).Pour l’addition (+) sur (\mathbb{N}), (\mathbb{Z}), (\mathbb{Q}), (\mathbb{R}), c’est une loi de composition interne. Un exemple classique de loi de composition interne est l’addition dans l’ensemble des nombres entiers. Soient deux nombres entiers a et b, la somme a+b est également un nombre entier.De même, la multiplication est une loi de composition interne pour l’ensemble des nombres réels. Soient deux réels a et b, le produit a*b est aussi un nombre réel.

La soustraction (-) sur (\mathbb{Z}) est une loi de composition interne (LCI). Cependant, il est important de noter que toutes les opérations ne sont pas des lois de composition interne pour tous les ensembles. Par exemple, la soustraction n’est pas une loi de composition interne pour l’ensemble des entiers naturels. Soient deux entiers naturels a et b, a-b n’est pas nécessairement un entier naturel. Si est un ensemble, les opérations et sont des lois de composition internes sur .

La somme géométrique est une loi de composition interne dans l'ensemble des vecteurs de (R^{2}) et (R^{3}). Le produit vectoriel est une loi de composition interne dans l'ensemble des vecteurs de (R^{3}) (et non de (R^{2})).

Soit φ:ℝ→ℝ définie par φ:x↦x-1. La loi définie sur par est une loi de composition interne sur . La soustraction est une loi de composition interne sur , mais pas sur .

Propriétés Fondamentales des Lois de Composition Interne

Il y a plusieurs propriétés importantes associées aux lois de composition interne, qui déterminent la structure algébrique de l'ensemble muni de cette loi.

Associativité

Une loi de composition interne (\ast ) est dite associative si pour tous les éléments (a,b,c) appartenant à (E^{3}), l'ordre des opérations n'affecte pas le résultat lorsque l'on compose plus de deux éléments. Formellement :(\forall ~(a,b,c) \in E^{3} : a\ast (b\ast c) = (a\ast b)\ast c).

Exemples d'associativité :L'associativité est vérifiée dans (N), (Z), (Q) et (R) pour l'addition et la multiplication.Cependant, toutes les lois ne sont pas associatives. Un exemple notable de non-associativité est le produit vectoriel dans l'ensemble des vecteurs de (R^{3}) : (\overrightarrow{v{1}} \wedge \left(\overrightarrow{v{2}} \wedge \overrightarrow{v{3}}\right) \ne \left(\overrightarrow{v{1}}\wedge \overrightarrow{v{2}}\right)\wedge\overrightarrow{v{3}}).

Commutativité

Une loi de composition interne (\ast ) est dite commutative si pour tous les éléments (a,b) appartenant à (E^{2}), l'ordre des opérandes n'affecte pas le résultat. Formellement :(\forall(a, b) \in E^2 : a \ast b = b \ast a).

Exemples de commutativité :La commutativité est vérifiée dans (N), (Z), (Q) et (R) pour l'addition et la multiplication. La loi (\ast ) est donc commutative.En revanche, le produit vectoriel dans l'ensemble des vecteurs de (R^{3}) n'est pas commutatif : (\overrightarrow{v{1}}\wedge\overrightarrow{v{2}}\ne\overrightarrow{v{2}}\wedge\overrightarrow{v{1}}), et plus précisément (\overrightarrow{v{2}}\wedge\overrightarrow{v{1}} = -\left(\overrightarrow{v{1}}\wedge\overrightarrow{v{2}}\right)).

Il est à noter que toutes les lois de composition interne ne sont pas nécessairement associatives ou commutatives.

Distributivité

La distributivité est une propriété qui concerne deux lois de composition interne différentes, généralement notées (\ast ) et (\circ), définies sur le même ensemble (E). Elle décrit comment une loi interagit avec l'autre.

• Distributivité à gauche : (\forall(a,b,c) \in E^{3} : a\ast (b \circ c) = (a\ast b) \circ (a\ast c)).
• Distributivité à droite : (\forall(a,b,c) \in E^{3} : (b \circ c)\ast a = (b\ast a) \circ (c\ast a)).

Si la loi (\ast ) est distributive à gauche et à droite par rapport à la loi (\circ), elle est dite distributive.Exemple : La distributivité de la multiplication par rapport à l'addition dans (\mathbb{R}) est un cas bien connu : (a ( b + c) = ab + ac).

Élément Neutre

Un élément neutre, s'il existe pour une loi de composition interne (\ast ) dans un ensemble (E), est un élément (e) tel que sa composition avec tout autre élément (a) de (E) laisse (a) inchangé. Formellement :(\forall ~a \in E : a \ast e = e \ast a = a).Si un élément neutre (e) existe, il est unique.

Exemples d'éléments neutres :Dans (\mathbb{R}), (0) est l'élément neutre pour l'addition ; (1) est l'élément neutre pour la multiplication. On suppose ici que admet un élément neutre . Soit .

Éléments Symétriques (ou Inverses)

Pour une loi de composition interne (\ast ) possédant un élément neutre (e), un élément (a' \in E) est dit symétrique de (a \in E) si leur composition donne l'élément neutre. Formellement :(\forall~a \in E, \exists ~a' \in E : a\ast a' = a' \ast a = e).(a') est l'élément symétrique de a pour la loi (\ast).

Exemples d'éléments symétriques :Dans (\mathbb{R}), (a) et (-a) sont symétriques (opposés) pour l'addition. Pour la multiplication, si (a \ne 0), l'élément symétrique de (a) est (1/a).

Concepts Avancés et Implications des Lois de Composition Interne

Les lois de composition interne sont les fondations sur lesquelles sont construites des structures algébriques plus complexes comme les groupes, les anneaux et les corps.

Groupes

Un ensemble (G) muni d'une loi de composition interne (\ast ) est appelé un groupe ((G, \ast )) si la loi (\ast ) satisfait les propriétés suivantes :

1. Associativité : (\forall ~(a,b,c) \in G^{3} : a\ast (b\ast c) = (a\ast b)\ast c).
2. Existence d'un élément neutre : (\exists ~e \in G, \forall ~a \in G : a \ast e = e \ast a = a).
3. Existence d'éléments symétriques : (\forall~a \in G, \exists ~a' \in G : a\ast a' = a' \ast a = e).

Un groupe est dit abélien ou commutatif si, en plus, la loi (\ast ) est commutative.Soient ((G, \star)) un groupe et (\varphi:G\to E) une application bijective au départ de (G) et à valeurs dans un ensemble (E). est correctement définie. Si (G={1}), la somme des éléments de (G) vaut 1. Sinon, il existe (a\in G) tel que (a\ne 1). La loi (\star ) est clairement commutative. Soient ((G,\star)) un groupe possédant 2n éléments avec n≥2. On suppose qu’il existe deux sous-groupes H et K possédant chacun n éléments et vérifiant (H\cap K={e}). Un sous-groupe strict est un sous-groupe différent du groupe.

Sous-groupes et Stabilité

Soit (H) une partie non vide d'un ensemble (E) muni d'une loi de composition interne (\ast ). Si (H) est stable pour la loi (\ast ), cela signifie que pour tous (x,y \in H), on a (x \ast y \in H). Si (E) est un groupe, (H) peut être un sous-groupe si, en plus de la stabilité, il contient l'élément neutre de (G) et les symétriques de tous ses éléments.

Soit (H) une partie finie non vide d’un groupe ((G,\star)). On suppose que (H) est stable pour la loi (\star). Soit (x\in G). Soient (x,y\in H).Soient (H) et (K) deux sous-groupes d’un groupe ((G,)) tels que (H\cup K) en soit aussi un sous-groupe. Si (hk\in H) alors (k=h^{-1}(hk)\in H) car (H) est un sous-groupe. Si (hk\in K) alors (h=(hk)k^{-1}\in K) car (K) est un sous-groupe. Ainsi (hk\notin H\cup K). Soient (H) et (K) deux sous-groupes d’un groupe (G) noté multiplicativement.

Anneaux

Un anneau ((A, +, \times)) est un ensemble (A) muni de deux lois de composition internes, l'addition ((+)) et la multiplication ((\times)), telles que :

1. ((A, +)) est un groupe abélien.
2. La multiplication est associative : (\forall ~(a,b,c) \in A^{3} : a\times (b\times c) = (a\times b)\times c).
3. La multiplication est distributive par rapport à l'addition (à gauche et à droite).

On dit qu’un élément (x) d’un anneau ((A,+,×)) est nilpotent lorsqu’il existe (n\in\mathbb{N}^*) vérifiant (x^n=0_A). Soient (a) et (b) deux éléments d’un anneau ((A,+,×)). Soit ((A,+,×)) un anneau vérifiant (x y x=x^2 y) pour tous (x) et (y) dans (A).Soit (A) un ensemble fini muni d’une loi associative pour laquelle il existe un élément régulier. Soit (G) un ensemble fini non vide muni d’une loi associative pour laquelle tous les éléments sont réguliers. Soit (x \in Z). Il existe (y \in A) tel que (x y x = x). La difficulté est de voir que l’on peut se ramener au cas où (y \in Z). Pour cela, considérons l’élément (z=x y^2). Il reste à montrer (z \in Z). Posons (a \in A). puis (a z=z a). Soient (A) et (B) deux sous-anneaux de ((\mathbb{Q},+,×)).

Autres Concepts Algébriques

• Morphismes de Groupes : Une application (\varphi:G\to E) est un morphisme de groupes si elle préserve la structure de groupe. L’application identiquement nulle est un morphisme de groupes de ((\mathbb{Q},+)) vers ((\mathbb{Z},+)). Par l’absurde, considérons (\varphi:\mathbb{Q}\to\mathbb{Z}) un morphisme de groupes additifs non identiquement nul. Il existe (x\in\mathbb{Q}) tel que (a=\varphi(x)\in\mathbb{Z}\setminus{0}). Considérons alors (x'=x/2a\in\mathbb{Q}). On en déduit (\varphi(x')=1/2).
• Automorphismes : Soient (\varphi,\psi\in\text{Aut}(G)). Par composition, l’application (\varphi\circ\psi) est bijective. Soit (\varphi\in\text{Aut}(G)). On peut introduire la bijection réciproque (\varphi^{-1}) et l’on sait que celle-ci est bijective.
• Éléments Réguliers : On suppose que tous les éléments de E sont réguliers. La loi (\star ) est déjà associative. Montrons qu’elle possède un neutre. Soit (x) un élément de (E). ne peut être formé d’éléments deux à deux distincts car (E) est un ensemble fini. Posons alors (e=x^k) et vérifions que (e) est neutre pour la loi (\star). Soit (y\in E). On a (y\star x^{n+k}=y\star x^n) et donc ((y\star x^k)\star x^n=y\star x^n). Par régularité de (x^n), on obtient (y\star e=y).

Applications et Exemples Spécifiques

• Nombres Complexes : Soient (A(1,0)) et (B(0,1)). On introduit (a=(3,2)\in G). Soit (n\in\mathbb{N}^). On en déduit que (f{a,b}) est une bijection de (\mathbb{C}) vers (\mathbb{C}) et (f{a,b}^{-1}=f{1/a,-b/a}). donc (f{a,b}\circ f{c,d}=f{ac,ad+b}). Soit (G) un sous-groupe fini de (\mathbb{C}^). Cas: (G={1}). Cas: (G\ne{1}). On peut introduire (a\in G) avec (a\ne 1). ce qui propose une nouvelle énumération des éléments de (G).
• Nombres Réels et Entiers : Soient (x=a+b\sqrt{2}) et (y=c+d\sqrt{2}) avec (a,b,c,d\in\mathbb{Z}). Si (x) est un élément inversible de (\mathbb{Z}[\sqrt{2}]) et si (y) est son inverse, alors (xy=1) donc (N(xy)=N(x)N(y)=1). Soit (x=\varepsilon(1+\varepsilon'\sqrt{2})^n) avec (\varepsilon,\varepsilon'\in{1,-1}) et (n\in\mathbb{N}). Par produit dans (\mathbb{Z}[\sqrt{2}]), on observe (x\in\mathbb{Z}[\sqrt{2}]). Posons (y=\varepsilon(-1+\varepsilon'\sqrt{2})^n\in\mathbb{Z}[\sqrt{2}]). On remarque (x\ge 1). On peut alors introduire (n\in\mathbb{N}) le plus grand entier naturel tel que ((1+\sqrt{2})^n\le x). avec (\xi=\alpha+\beta\sqrt{2}\in\mathbb{Z}[\sqrt{2}]). Cas: (\alpha^2-2\beta^2=-1). Cas: (\alpha^2-2\beta^2=1). Soit (x=a+b\sqrt{2}\in\mathbb{Z}[\sqrt{2}]) un élément inversible. Quitte à remplacer (x) par son inverse, on peut supposer (a) et (b) de même signe tout en conservant l’hypothèse (x) inversible. Aussi, quitte à considérer (-x) au lieu de (x), on peut supposer (a) et (b) positifs en maintenant encore l’hypothèse (x) inversible. Cela ramène à la situation précédente (avec nécessairement (a\ne 0) car la condition (-2b^2=\pm 1) est impossible).
• Théorie des Anneaux : Montrer que (2.x=0_A) pour tout (x\in A). Soient (x,y\in\mathbb{Z}). Soit (x\in\mathbb{Z}). L’existence est établie ci-dessus. Soit (a,b\in\mathbb{N}) tel que (a\mathbb{Z}=b\mathbb{Z}). Pour (x\in\mathbb{R}^), on a bien (f(x)\in\mathbb{R}^).
• Relations d'Équivalence : On note (\text{Cl}(x)) la classe d’équivalence d’un élément (x) pour la relation (\mathcal{R}). Voir le sujet 2212. Soit (E) un ensemble. Voir le sujet 4479.
• Homomorphismes de Corps : Posons (j=f(i)). On a (j^2=f(i)^2=f(i^2)=f(-1)=-f(1)=-1) donc (j=\pm i). Cas: (j=i). Pour tous (a,b\in\mathbb{R}), (f(a+ib)=f(a)+f(i)f(b)=a+ib) donc (f=\text{Id}{\mathbb{C}}). Cas: (j=-i). Si (f(x)=f(y)) alors (f(x)-f(y)=f(x-y)=0L).

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard.

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