L'apprentissage des mathématiques peut prendre des formes variées et s'inspirer de domaines inattendus. Si l'évocation des "lauriers roses" ne semble pas directement liée aux chiffres et aux calculs, une exploration approfondie de l'histoire des mathématiques, de la nature et de la pédagogie contemporaine révèle des connexions fascinantes. Cet article vous emmène dans un voyage, des fondements antiques de notre compréhension du monde aux pratiques d'enseignement modernes, en passant par les merveilles géométriques que l'on retrouve parfois dans le monde végétal. Il met en lumière comment des concepts complexes ont été élaborés au fil des siècles et comment des exercices d'entraînement autonomes, inspirés par le modèle des gammes, peuvent enrichir l'apprentissage des mathématiques dès le cycle élémentaire.
Des origines célestes des mathématiques à la perception du monde
Depuis les temps les plus reculés, les humains ont observé le ciel. Dans toutes les grandes civilisations antiques qui se sont développées dans le triangle formé par la Mésopotamie, l’Égypte et la Grèce, l’origine du monde était expliquée par une intervention divine. Les humains ne pouvaient alors qu’entrevoir, ou du moins le pensaient-ils, le dessein du créateur et ce qu’il attendait d’eux. À cette époque, les cieux étaient considérés comme lieu de résidence de Dieu ou des dieux, un lieu à la fois inaccessible et très proche de la surface terrestre, que l’on pouvait approcher en gravissant les plus hautes montagnes. Dans la mythologie grecque, le mont Olympe (2 917 m) était le domaine des dieux. Dans la Bible, l’arche de Noé aurait retrouvé la terre ferme au sommet de l’inaccessible mont Ararat (5 165 m) et Jacob voit en rêve une échelle reliant le ciel et la terre, qui lui permet d’accéder au ciel et de voir Dieu, lequel renouvelle l’Alliance conclue avec l’humanité.
Les observations astronomiques étaient indissociables des interprétations magiques ou religieuses qui en étaient faites. Les positions relatives des astres et des étoiles étaient interprétées comme des messages divins, permettant aux humains d’entrevoir leur avenir. Enseignement secret réservé aux seuls initiés, mélange d’observations astronomiques et d’interprétations ésotériques, ces croyances scientifiquement infondées sont toujours les bases de l’astrologie (voir glossaire) et de la numérologie. L’astrologie occidentale, qui trouve ses origines en Mésopotamie, entre le xixe siècle et le xviie siècle av. J.-C., en est un exemple. D’autres civilisations ont développé des interprétations astrologiques à partir de leurs propres observations astronomiques : les Chinois (vers 2 600 av. J.-C.) ou les Mayas (vers 200 av. J.-C.) par exemple.
Le nombre sept et les cycles du temps
Dans l’Antiquité, sept est le nombre des merveilles du monde et des collines de Rome, et il apparaît à de multiples reprises dans la Bible, dans les Évangiles et dans le Coran. De nos jours, sept est le nombre de jours de la semaine, respectivement dédiés à l’un de ces sept astres : dimanche est (ou était) dédié au Soleil (Sunday en anglais), lundi à la Lune, mardi à Mars, mercredi à Mercure, jeudi à Jupiter, vendredi à Vénus et samedi à Saturne.
Mais ce n’est pas tout : il y a au moins cinq mille ans, les savants sumériens avaient remarqué que le nombre de jours dans l’année solaire est proche de 360. Par un heureux hasard, 360 est, parmi tous les nombres de taille comparable, celui qui possède le plus de diviseurs entiers, propriété appréciable à une époque où la division de deux nombres n’était envisageable que lorsque le résultat était un nombre entier. Pour les durées de temps, tout serait plus simple si l’année comptait exactement 360 jours solaires, mais ce n’est pas le cas : une année solaire, initialement définie à partir des équinoxes ou des solstices, compte actuellement 365,242 jours.
Depuis l’Antiquité et du fait qu’elle ne correspond pas à un nombre entier de jours, l’année solaire a été divisée en douze mois d’environ trente jours, la dérive annuelle des dates par rapport aux équinoxes et solstices étant compensée par des années bissextiles. Simultanément, elle a été divisée en quatre saisons de trois mois chacune et chaque jour est divisé en 24 heures, chacune de soixante minutes, chacune de soixante secondes.
Parallèlement, certaines civilisations ont adopté un calendrier lunaire. Est-ce plus simple ? Pas vraiment, car l’année solaire ne correspond pas à un nombre entier de lunaisons. Vue depuis le centre du Système solaire (mois lunaire sidéral), la Lune tourne actuellement autour de la Terre en 27 jours, 7 heures, 43 minutes et 11,5 secondes. Pendant ce temps, la Terre parcourt un peu moins qu’un douzième de son orbite, parcourue dans le même sens que la Lune sur la sienne : vue depuis la Terre, la même phase de la Lune (lunaison) s’observe actuellement au bout de 29 jours, 12 heures, 44 minutes et 2,8 secondes (soit 29,531 jours). C’est pour cela que le calendrier islamique - fondé sur l’observation des lunaisons - compte 12 mois de 29 ou 30 jours, pour un total de 354 ou 355 jours. Comparée à l’année solaire, cette année lunaire est plus courte d’environ onze jours et, année après année, décalée d’autant par rapport aux saisons. Autre particularité de ce calendrier, la date (et l’heure) de début du mois est fixée par l’observation directe, à l’œil nu, de la nouvelle lune. De ce fait, elle dépend de la longitude du lieu d’observation. La mesure des angles, liée depuis les origines à la définition de l’année solaire, se fait aussi en base sexagésimale. Dans un cercle, l’angle au centre qui intercepte le cercle entier mesure 360° et les angles mesurés dans les polygones réguliers usuels (triangles, carrés, pentagones, hexagones, etc.) sont des diviseurs entiers de 360. Pour la navigation maritime et aérienne, les mesures internationales de longitude et de latitude sont aussi exprimées en degrés sexagésimaux.
De la sagesse antique aux nombres irrationnels
Le terme de philosophe était employé par Pythagore, qui ne se présentait pas comme un sage, mais comme un « ami de la sagesse », où sagesse désignait un idéal de vie réservé aux seuls initiés. Comme actuellement, les qualités d’un sage reposaient sur la connaissance, le savoir et l’expérience acquise. Les fondements de la mathématique étaient arithmétiques et géométriques : les nombres et les règles de calcul sur les nombres dérivaient des propriétés géométriques liées à la mesure des longueurs, des aires et des volumes. Dans l’Antiquité et jusqu’au XVIe siècle, la résolution de problèmes conduisant à des équations du premier ou du second degré utilisait des méthodes de calcul et des algorithmes (qui ne s’appelaient pas encore ainsi) bien plus complexes pour nous que le calcul algébrique codifié actuel. Pour s'en convaincre, essayez de refaire, sans utiliser les notations actuelles, les calculs sur les fractions égyptiennes donnés en exemples dans le glossaire.
Cette approche géométrique se retrouvait également dans les suites multiplicatives, en particulier aux suites géométriques, dans lesquelles on passe d’un terme au suivant en le multipliant par un nombre constant, lui aussi appelé « raison » ; le qualificatif de « géométrique » vient de ce que, dans l’Antiquité grecque, la multiplication était indissociable des calculs d’aires ou de volumes. Par exemple, le produit x x y est l’aire d’un rectangle de côtés x et y.
Dans ses Éléments de Mathématique, rédigés aux environs de 300 avant J.-C., Euclide décrit plusieurs partages d’un segment dans une proportion donnée, dont la « division d’un segment en extrême et moyenne raison », ou « section dorée ». Si l'on considère un segment AB divisé en un point C tel que AB/AC = AC/CB, essayez de le démontrer !
Le nombre d'or et ses mystères
Le nombre d’or, habituellement noté φ (lettre grecque « phi »), est la valeur numérique commune des quotients (a+b)/a et a/b dans la division d’un segment en extrême et moyenne raison. La relation (a+b)/a=a/b peut s’écrire a/a+b/a=a/b. Alors 1+1/φ=φ. En multipliant les deux termes par φ, on obtient φ+1=φ2, ce qui montre que φ est solution de l’équation trinôme du second degré : φ2-φ-1=0. Cette équation s’écrit φ(φ-1)=1. Les lycéens qui savent résoudre cette équation lui trouvent deux solutions : la première est $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, de valeur numérique approchée 1,618, et la seconde est $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$, de valeur numérique approchée - 0,618. Nombre positif car quotient de deux nombres positifs, φ ne peut être que la première de ces deux solutions : $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Pour les philosophes de la Grèce antique, un nombre incommensurable était un nombre qui, une unité étant choisie, apparaissait dans la mesure d’une longueur sans être un nombre entier ni le rapport de deux nombres entiers. Le premier nombre irrationnel découvert est $\sqrt{2}$ qui, en application du théorème de Pythagore, mesure la longueur de la diagonale d’un carré de côté unité. La preuve de son irrationalité - qui repose sur des propriétés de divisibilité des nombres entiers et un raisonnement par l’absurde - est attribuée à l’école de Pythagore, en particulier à Hippase de Métaponte (VIe siècle av. J-C.).
La découverte de l’irrationalité de $\sqrt{2}$, puis celle de l’irrationalité du nombre d’or φ et le fait que φ soit lié à la construction du pentagone régulier ont profondément déstabilisé les philosophes de l’école pythagoricienne. Persuadés jusqu’alors que le monde n’était régi que par les nombres entiers et leurs rapports, ils voyaient leur explication de la création du monde s’écrouler. Depuis, pour certains, le mystère ne s’est toujours pas dissipé : le nombre d’or et ses multiples propriétés, le pentagone régulier et le pentagramme ont conservé ce caractère mystérieux, objet de nombreuses interprétations plus ou moins ésotériques.
Les philosophes grecs ont vainement cherché la valeur rationnelle d’un autre nombre qui échappait à leur entendement, le nombre π, rapport du périmètre d’un cercle à son diamètre. Ils espéraient trouver une valeur rationnelle de π en résolvant le fameux problème de la quadrature du cercle, qui consiste à construire, à la règle et au compas, un carré de même aire que celui d’un cercle donné. L’impossibilité de cette construction et l’irrationalité du nombre π n’ont été prouvées qu’au XVIIIe siècle, en 1767, par Jean-Henri Lambert.
Cette propriété implique que φ est le plus irrationnel des nombres irrationnels et explique pourquoi le nombre d’or intervient dans la phyllotaxie des végétaux (voir page 45). Nous venons de trouver le début de la fraction continue qui représente le nombre π. Dans celle-ci, les dénominateurs entiers des restes successifs forment la « suite des réduites » du nombre π, notée [3, 7, 15, 1, 292…], qui caractérise le nombre développé. Le calcul des réduites successives permet d’obtenir des valeurs approchées de ce nombre, de plus en plus précises puisqu’on néglige des restes de plus en plus petits. De manière générale, pour tout nombre irrationnel représenté par sa fraction continue, le nombre de réduites à calculer pour obtenir une bonne approximation est d’autant plus petit que les termes de la suite des réduites sont grands.
Aux origines du nombre d'or - Deux (deux ?) minutes pour...
L'angle d'or : une proportion universelle
En prenant comme unité le rayon du cercle, les mesures en radians des angles α et β doivent vérifier α + β = 2π et 2π/β = β/α = φ, ce qui implique que β = α x φ donc que α = β/φ. De 2π/β = φ, on déduit que β = 2π/φ et enfin que α = 2π/φ2 radians. En degrés, ces angles ont pour mesures respectives α=360°/φ2, de valeur approchée 137,5°, et β=360°/φ2, de valeur approché 222,5°. L’angle d’or est l’angle (AOB) ̂, de mesure approchée α=137,5°. C'est cet angle que l'on retrouve dans la disposition des feuilles le long d'une tige, dans l'arrangement des pétales de fleurs ou des graines de tournesol, une manifestation de la phyllotaxie. Les lauriers roses, bien que leurs noms scientifiques soient cités sans mention de leurs auteurs (pour les espèces de France métropolitaine, voir Tison & de Foucault (2014) et pour les espèces exotiques, les noms ont été relevés sur le site internet Wikipedia), peuvent également présenter des motifs liés à ces proportions.
Les rectangles et le nombre d'or : des formats à la beauté architecturale
Le format d’un rectangle est le quotient de sa longueur par sa largeur. Le format de papier actuellement le plus utilisé dans le monde est le format A, décliné en feuilles de format A0, A1, A2, A3, A4, A5, etc. Le rapport longueur/largeur de toute feuille de format A est égal à $\sqrt{2}$, ce qui permet de la partager en deux feuilles de même format et d’aire moitié. Par définition, l’aire d’une feuille de format A0 est égale à 1 m². En valeurs arrondies, elle mesure 1 189 mm de longueur pour 841 mm de largeur. À gauche, dans un carré ABCD de côté unité, la diagonale [AC] a pour longueur $\sqrt{2}$. Le format B possède les mêmes propriétés, mais la feuille de format B0 mesure 1 414 mm de longueur pour 1 000 mm de largeur.
Le rectangle d’or est un rectangle au format du nombre d’or : le rapport de sa longueur à sa largeur est égal à φ. La plus ancienne construction connue d’un rectangle d’or est celle d’Euclide. Sur la figure 6, le rectangle d’or AEFD est la réunion du carré ABCD et du rectangle d’or BEFC. De manière récursive, ce dernier contient à son tour le rectangle d’or BEHG, qui contient le rectangle d’or BKJG, qui contient le rectangle d’or LMJG, qui contient le rectangle d’or OMJN, qui contient le rectangle d’or OMQP, etc. Le point de convergence est le point rouge, intersection des segments [DE] et [BF]. Cette propriété de récursivité infinie est souvent associée à l'idée d'harmonie et de beauté dans l'art et l'architecture.
La construction du pentagone régulier et son symbolisme
Avant le VIe siècle av. J.-C., les Grecs ne savaient pas construire le pentagone régulier. Ils ont longtemps cherché, en vain, une méthode de trisection des angles (partage d’un angle en trois angles de même mesure) qui leur aurait permis de tracer facilement l’ennéagone régulier (à neuf côtés) en partant d’un triangle équilatéral : on sait maintenant que la trisection des angles est impossible à la règle non graduée et au compas. Ce sont les philosophes de l’école pythagoricienne qui, au VIe siècle avant J.-C., ont trouvé la première construction du pentagone régulier à la règle et au compas. Les connaissances de l’école pythagoricienne étaient réservées aux seuls initiés. Selon la tradition, Hippase de Métaponte aurait enfreint cette règle de confidentialité en divulguant ses découvertes. Pour cela, il aurait été exclu de l’école et un tombeau aurait été érigé à son nom pour que tout le monde sache qu’il était mort aux yeux de ses pairs. Selon d’autres sources, il se serait noyé, ou il aurait été noyé en mer par ses condisciples. La construction du pentagone régulier a rendu possible celle du dodécaèdre régulier convexe (figure 147), dont les douze faces sont des pentagones réguliers. Au cours des siècles, de nombreuses autres constructions et propriétés du pentagone régulier ont été découvertes (voir site Internet de P. etc.).
Le pentagramme, étoile à cinq branches formée par les diagonales d’un pentagone régulier, revêt un symbolisme profond. Comme le triangle équilatéral et le carré, et à la différence de l’hexagone étoilé (formé de deux triangles équilatéraux imbriqués tête-bêche), le pentagramme peut se tracer sans lever le crayon. Les plus anciennes représentations connues (et approximatives) de pentagones étoilés ont été trouvées sur divers objets provenant d’antiques cités sumériennes, datés du IVe millénaire av. J.-C. Les côtés du pentagramme forment au centre un petit pentagone régulier, dans lequel on peut de nouveau construire un pentagramme plus petit, et ainsi de suite jusqu’à l’infini (figure 146). Dans l’Antiquité, la suite de pentacles ainsi obtenus, rapidement trop petits pour être vus, symbolisait le mystère insondable de la création de l’univers.
Nous ne donnerons pas ici la construction du pentagone régulier trouvée par l’école pythagoricienne, au VIe siècle av. J.-C., car elle fait appel à des notions de géométrie actuellement peu familières (dont la « puissance d’un point par rapport à un cercle », inconnue des lycéens actuels). Les figures 8 et 9 donnent deux constructions simples plus récentes toutes deux liées au nombre d’or. Le cercle c1 de centre M et de rayon [MJ] coupe c en A et en D. Le polygone ABCDN est un pentagone régulier inscrit dans c. Le polygone ABEFG est un pentagone régulier. D’autres constructions sont décrites sur le site Internet de P. etc.
Les exercices de mathématiques : des "gammes" pour l'autonomie en CE2
Au-delà des concepts mathématiques complexes et de leur histoire, l'apprentissage des mathématiques est fondamental dès les premières années de scolarité. Pour la quatrième année, un système d'exercices d'entraînement en français et maths sur le modèle des gammes est mis en place. Chaque semaine, chaque élève prend une fiche parmi les 6 de son niveau et réalise les exercices durant les temps de plan de travail. Il y a une fiche à prendre en maths et une en français. Les semaines suivantes, les élèves reprennent les fiches de leur niveau en évitant de reprendre 2 fois la même fiche. Ce système très intéressant s'est mis en place idéalement durant le confinement (et la préparation des gammes P5 est bientôt disponible) car les élèves font cela en complète autonomie en utilisant leurs leçons puis les corrections disponibles.
Ces fiches d'exercices couvrent une large gamme de compétences mathématiques adaptées au niveau CE2, favorisant l'autonomie et la compréhension des concepts clés. Voici quelques exemples de thématiques abordées :
Résolution de problèmes d'addition et de soustraction
Des problèmes concrets sont proposés pour que les élèves puissent appliquer leurs connaissances. Par exemple, "Sophie, qui a 9 ans et qui est en classe de CE2, mesure 1m25. Son ami, Simon, qui n’a pas encore 9 ans, mais qui est aussi au CE2, mesure, lui 1,48 m. Malgré sa taille, Sophie aime bien faire des sauts en hauteur, alors que Simon préfère les sports d’endurance." Les élèves doivent ensuite résoudre des questions comme la différence de taille entre Sophie et Simon. Un autre exemple : "Sur le marché, un marchand, monsieur Petitjean vend des œufs. Il en rapporte 24, le soir en rentrant, vers 18 heures. Il en avait 80 avant d’aller au marché, très tôt, ce matin, vers 5 heures. Mais, en les disposant sur son étal, il en a cassé 6." Ces exercices permettent de travailler l'addition et la soustraction dans des contextes variés, incluant les mesures et les euros.
Maîtrise de l'addition, de la soustraction et de la multiplication
Certaines fiches combinent ces trois opérations fondamentales. Par exemple, "Alors qu’il commence à faire sombre dehors, Léa va au cinéma avec sa sœur Marie. Dans la petite salle de cinéma, où on passe le film « Les trente-trois marches », on a installé 10 rangées de 25 fauteuils par rangée. 120 personnes sont déjà installées avant qu’elles ne s’assoient sur des sièges devant l’écran." Les élèves sont invités à calculer le nombre de fauteuils restants ou le nombre total de personnes dans la salle. Un autre exercice présente : "Chaque semaine, vers 9H30, monsieur Bastien, qui a 45 ans aujourd’hui, le 02 janvier 2018, achète 2 revues, l’une qui coûte 4 € et l’autre valant 6 €." Les questions portent sur le moment de l'achat ou le nombre total de revues.
Problèmes avec les euros et la vie quotidienne
La gestion de l'argent est une compétence essentielle. "Célia a 50€ dans sa tirelire. Suite à son anniversaire, elle reçoit 20€ de ses grands-parents. Elle décide de leur faire plaisir et de leur acheter des fleurs. Elle choisit un magnifique bouquet avec toutes sortes de fleurs qui coûte 24€." Ici, les élèves doivent calculer la somme d'argent restante à Célia. D'autres problèmes mettent en scène des achats, comme celui de Joshua qui encadre une toile achetée 350 € ou un bon de commande pour une école, où les élèves doivent calculer le prix total des livres, cahiers et colles. "Sophie invite des amies. Elle invitera 7 de ses amies le jour de sa fête, le 25 mai. Sophie offrira 2 gâteaux à chacune. Pour cela, elle dépensera 3€ pour chaque gâteau et 4€ pour chacune des 2 bouteilles achetées." Ce type de problème permet d'intégrer l'addition et la multiplication.
Mesures, poids et volumes
Les exercices intègrent également des notions de mesure. "Un commerçant reçoit les 100 paquets de bouteilles d’eau qu’il a commandés, il y a 8 jours. Dans chaque paquet, il y a 6 bouteilles d’eau d’un litre. Il a également commandé, il y a 5 jours, 10 paquets de 6 bouteilles d’eau d’un demi-litre." Ces problèmes encouragent les élèves à calculer les volumes totaux. Les poids sont abordés avec Léo faisant ses courses : "Comme tous les samedis, Léo fait les courses avec ses parents. Il n’est pas encore 8H30. Le magasin n’ouvre que dans quelques minutes. Enfin, voilà les portes qui s’ouvrent ! Alors qu’il aide son papa à trouver certains fromages, sa maman se dirige vers le rayon des fruits et légumes." Les quantités de légumes sont ensuite utilisées pour des calculs.
Distance, temps et heures
Des problèmes de distance et de temps sont également présents. "Nantes, le 16 juin. C’est un grand jour pour Bastien. Il est inquiet. Il participe à une course d’endurance, dans un circuit de cross qui fait 400 m. Il devra faire 3 tours, le plus vite possible. Les 24 autres concurrents vont partir en même temps que lui." Il s'agit de calculer la distance totale parcourue. Les horaires sont mis en scène dans un problème où Marion va au spectacle à presque 8h30. Les relevés de précipitations et de températures dans une ville donnée, avec des graphiques à interpréter, permettent de travailler la lecture de données et la soustraction de mesures.
Partage et logique
Des problèmes de partage et de raisonnement sont aussi proposés. "Le travail de Mr Fournier consiste à trier des crayons de couleur. Il doit en mettre 12 par boîte. Il existe un système automatique qui trie tous ces crayons, mais il faut qu’il surveille ce tri afin d’être sûr qu’aucune erreur ne vienne perturber l’empaquetage." Ces exercices développent la logique et la division. Peter, avec ses 14 poules, vend leurs œufs tous les mercredis, et les élèves peuvent être amenés à calculer le nombre d'œufs ou le revenu. "Le paysagiste-jardinier de la ville Beaupin achète 5 chênes, 6 érables et 10 bouleaux. Il décide aussi de mettre 2 rangées de lauriers, mais il ne mettra que 5 lauriers par rangée." Ce problème intègre la multiplication et l'addition, tout en faisant un clin d'œil aux lauriers, en écho au titre de notre article.
Aux origines du nombre d'or - Deux (deux ?) minutes pour...
Ces "gammes" mathématiques, par leur structure et leur approche autonome, permettent aux élèves de CE2 de développer une compréhension solide des bases des mathématiques, les préparant ainsi aux défis futurs. Elles démontrent que, de la sagesse des philosophes grecs aux problèmes quotidiens, les mathématiques sont une discipline riche et omniprésente.