Le mouvement circulaire est un phénomène omniprésent dans notre quotidien, de la trajectoire des planètes autour du Soleil aux virages serrés empruntés par un véhicule sur une route sinueuse. Lorsqu'une voiture entre dans une courbe prononcée, elle exerce une force vers l'intérieur du virage afin d'amener la voiture dans la direction appropriée, soit la force centripète. Or, quand la voiture tourne, les personnes assises à l'intérieur de la voiture ressentent une force qui tend à les amener vers l'extérieur, comme si elles devaient être déportées dans le sens contraire de la courbe. Le même principe existe dans certains manèges tournant à grande vitesse. Pour une personne située dans ce manège, elle ne sera pas attirée vers le centre, mais plutôt comprimée sur son siège, car elle ressent les effets de la force centrifuge.
Fondements de la dynamique circulaire
Pour comprendre la force centripète et la force centrifuge, nous devons comprendre la dynamique d'un objet qui se déplace dans un mouvement circulaire. Considérons une balle sur une ficelle qui se déplace en cercle. Si la balle se déplace à une vitesse constante autour du cercle, elle est animée d'un mouvement circulaire uniforme. Le mouvement circulaire uniforme est le mouvement d'un objet qui se déplace à vitesse constante dans un cercle de rayon fixe.
Comme le montre l'analyse physique, la vitesse de la balle est toujours dans une direction tangente au cercle et la direction du vecteur vitesse change donc constamment. La balle subit donc une accélération perpendiculaire au vecteur vitesse, et le vecteur accélération pointe donc toujours vers le centre du cercle. Cette accélération radiale est connue sous le nom d'accélération centripète. L'accélération centripète est l'accélération radiale d'un objet en mouvement circulaire. Si la balle subit un mouvement circulaire non uniforme dans lequel la vitesse de la balle n'est pas constante, il y aura des composantes du vecteur d'accélération qui ne pointeront pas vers le centre du cercle. Ces composantes d'accélération ne contribuent pas à l'accélération centripète.
La deuxième loi de Newton nous apprend qu'une force doit agir sur un objet s'il subit une accélération. Cette loi est décrite par l'équation $F{net} = ma$ où $F{net}$ est la somme des forces agissant sur l'objet, $m$ est la masse de l'objet, et $a$ est l'accélération. Dans notre cas, nous considérons l'accélération centripète $ac$ de sorte que $F{net} = m a_c$. Quelle est donc cette force ? Dans le cadre de référence d'un observateur, si nous ignorons la gravité, il n'y a qu'une seule force qui agit sur la balle sur la ficelle : la force de tension de la ficelle qui la retient. La tension fournit la force radiale nécessaire pour la maintenir dans un mouvement circulaire.
La force radiale nette qui agit sur un objet et le maintient dans un mouvement circulaire est la force centripète. Le vecteur de la force centripète pointe dans la même direction que le vecteur de l'accélération, conformément à la deuxième loi de Newton. La force centripète est la force radiale totale qui agit sur un objet en mouvement circulaire. Il est bon de noter que la force centripète n'est pas une force réelle, mais que nous utilisons plutôt le terme force centripète pour décrire la force totale qui maintient l'objet dans un mouvement circulaire. Dans l'exemple ci-dessus, la force centripète provient de la force de tension de la ficelle. La gravité est un autre bon exemple de force qui maintient un objet tel qu'un satellite en orbite autour de la terre.
Référentiels et forces fictives
Qu'en est-il si l'on considère le cadre de référence de la balle ? Dans le cadre de référence de la balle, la balle est au repos alors que tout ce qui l'entoure est en mouvement. Si nous ne tenons compte que de la force centripète due à la tension de la ficelle dans le cadre de référence de la balle, celle-ci devrait se déplacer vers sa gauche en direction du centre du cercle. Pour résoudre ce problème, nous utilisons une "force fictive" qui est la force centrifuge.
La force centrifuge est dirigée radialement vers l'extérieur et a la même ampleur que la force centripète. Une force centrifuge est une force apparente dirigée radialement vers l'extérieur ressentie par un objet dans un référentiel en rotation. La différence entre la force centripète et la force centrifuge est que la force centripète s'applique à n'importe quel cadre de référence, alors que la force centrifuge ne s'applique qu'à un cadre de référence en rotation. Le cadre de référence de l'observateur est appelé cadre de référence inertiel, ce qui signifie que la loi de l'inertie, la première loi de Newton, s'applique. Un référentiel en rotation est un référentiel non inertiel car la loi de l'inertie ne s'applique pas.
la notion de référentiel
Si nous considérons une balle placée sur une plateforme rotative sans frottement, la balle sera poussée hors de la plateforme. Cela est logique pour un observateur qui regarde la balle parce que la balle avait une vitesse initiale à partir de la plate-forme en rotation. Mais dans le cadre de référence rotatif de la balle, la balle commence à se déplacer radialement vers l'extérieur de la plate-forme sans qu'aucune force n'agisse sur elle. Ainsi, dans un cadre de référence non inertiel, les lois du mouvement de Newton ne s'appliquent pas. Nous pouvons cependant utiliser les lois du mouvement de Newton dans un cadre de référence non inertiel si nous introduisons des "forces fictives" telles que la force centrifuge. Les forces fictives facilitent les calculs dans les référentiels non inertiels car elles nous permettent d'utiliser les lois de Newton sur le mouvement. Rappelle-toi que dans le référentiel de l'observateur, il n'y a pas de force centrifuge. Pour les objets en mouvement circulaire dans un référentiel inertiel, il n'y a pas de force radiale vers l'extérieur qui pousse l'objet. N'inclus pas la force centrifuge dans tes calculs lorsque tu utilises un cadre de référence inertiel.
Élaboration mathématique des forces
Pour trouver les formules de la force centripète et de la force centrifuge, examinons de plus près les équations qui décrivent l'accélération centripète. Considère la balle sur une ficelle en deux points différents, $P1$ et $P2$ sur un cercle de rayon $R$. À ces points, la balle a des vitesses correspondantes que nous appellerons $v1$ et $v2$. Nous appellerons également la distance parcourue par la balle $\Delta x$ et l'angle $\Delta \theta$. Le temps que la balle a mis pour aller de $P1$ à $P2$ est $\Delta t$.
À partir de l'analyse géométrique, nous pouvons dessiner deux triangles similaires pour le changement de vitesse $\Delta v$ et la variation de la distance $\Delta x$. Puisque les triangles sont semblables, le rapport des côtés semblables des triangles est égal et nous donne : $$\frac{\Delta x}{R} = \frac{\Delta v}{v1} \implies \Delta v = \frac{\Delta x}{R} v1$$
Réfléchissons maintenant à l'accélération moyenne. L'accélération est définie comme le changement de vitesse divisé par le changement de temps. On peut donc écrire :$$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{\Delta x}{R} \frac{v1}{\Delta t} = \frac{v1}{R} \frac{\Delta x}{\Delta t}$$
Si nous considérons de très petits changements de distance et de temps, nous pouvons prendre la limite lorsque le changement de temps se rapproche de zéro. Lorsque la variation du temps se rapproche de zéro, la variation de la distance par rapport à la variation du temps se rapproche de $v1$. Nous pouvons maintenant écrire l'accélération comme suit :$$a = \frac{v1}{R} \lim{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{v1}{R} v_1$$
Puisque nous avons pris la limite lorsque le changement de temps se rapproche de zéro, nous pouvons laisser tomber les indices. Nous arrivons maintenant à l'équation de l'accélération centripète : $ac = \frac{v^2}{R}$. Il est important de se rappeler que l'équation ci-dessus pour l'accélération centripète prend en compte l'accélération du centre de masse du système. L'accélération peut également être décrite par la période du mouvement. Appelons le temps qu'il faut à la balle pour effectuer une révolution, $T$. La vitesse moyenne est donnée par la circonférence du cercle divisée par la période : $v = \frac{2\pi R}{T}$. En utilisant notre équation pour l'accélération centripète, nous pouvons alors écrire l'accélération centripète comme suit : $ac = \frac{v^2}{R} = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$.
Nous trouvons l'équation de l'ampleur de la force centripète, $Fc$. L'équation est tirée de la deuxième loi de Newton mentionnée plus haut :$$Fc = m a_c = \frac{m v^2}{R}$$
La force centripète pointe dans la même direction que l'accélération centripète, vers le centre du cercle. La force centrifuge, $F{cf}$, utilisée uniquement dans un cadre de référence non inertiel, a la même ampleur que la force centripète : $F{cf} = \frac{m v^2}{R}$. Bien que la force centripète et la force centrifuge soient égales en magnitude, elles pointent dans des directions opposées. La force centrifuge est dirigée radialement vers l'extérieur.
Analyse du pendule : un cas concret
Considérons à nouveau une balle sur une ficelle, mais cette fois-ci, nous en ferons un pendule. Pour l'instant, nous allons considérer le pendule dans un cadre de référence inertiel. Les seules forces qui agissent sur la bille sont la gravité et la force de tension de la corde. Comme nous l'avons vu plus haut, l'accélération centripète pointe vers le centre du cercle, et la force centripète doit donc également pointer dans cette direction. Pour calculer la force centripète, nous devons trouver la composante $x$ de la force de tension.
Notre premier triangle montre que la bille fait un angle de $\theta$ par rapport à la normale. L'hypoténuse du triangle est donnée par la longueur de la ficelle ; nous l'appellerons $L$. Le rayon du cercle, $R$, définit également un côté du triangle. Nous pouvons créer notre deuxième triangle à partir des forces qui s'exercent sur la balle. Nous avons le même angle $\theta$ par rapport à la normale, la force de tension $T$ est l'hypoténuse et la force de gravité $Fg$ est le côté adjacent. Notre dernier triangle divise la force de tension en ses composantes $x$ et $y$. En utilisant la trigonométrie, nous obtenons ces équations :$\sin\theta = \frac{R}{L}$ ; $\cos\theta = \frac{Fg}{T} = \frac{mg}{T}$ ; $T_x = T \sin\theta$
Puisque nous cherchons la force centripète, nous devons résoudre la composante $x$ de la force de tension car c'est la composante qui pointe vers le centre du cercle. En résolvant $Tx$ en fonction des variables connues :$T = \frac{mg}{\cos\theta}$$Tx = T \sin\theta = mg \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = mg \tan\theta$
Si une bille sur un pendule est attachée à une corde de 10 cm qui se déplace dans un cercle d'un rayon de 5 cm, avec une masse de 200 g, nous pouvons calculer la force centripète. La force centripète est donc $T_x = (0,2 \text{ kg}) \times 9,8 \text{ m/s}^2 \times \tan(\sin^{-1}(0,05/0,1)) = 1,132 \text{ N}$. La force centripète est donc 1,132 N dirigée vers le centre du cercle. La force centrifuge est égale à la force centripète et est donc 1,132 N dirigée dans une direction opposée, radialement vers l'extérieur.
Applications technologiques et quotidiennes
Une application courante qui fait intervenir la force centripète et la force centrifuge est celle d'une voiture roulant dans une courbe plate à une vitesse constante. Dans un cadre de référence inertiel, les forces agissant sur la voiture sont la gravité, la force normale et le frottement, qui empêche la voiture de glisser. La force centripète est fournie par le frottement, ce qui permet à la voiture de se déplacer en cercle. Un passager de la voiture pourrait dire qu'il ressent une force extérieure qui le pousse vers la portière lorsque la voiture prend le virage, mais dans un cadre de référence inertiel, il n'y a pas de force centrifuge qui pousse vers l'extérieur. Ce que ressent le passager provient de la loi de l'inertie. Le passager a une vitesse initiale provenant de la voiture en mouvement et veut se déplacer en ligne droite, mais comme la voiture prend un virage, le côté de la voiture empêche le passager de se déplacer en ligne droite.
Si nous considérons un référentiel non inertiel du point de vue du passager, le passager et la voiture sont au repos alors que tout le reste est en mouvement. La force extérieure ressentie par le passager peut être appelée force centrifuge dans son cadre de référence, mais nous devons nous rappeler qu'il ne s'agit pas d'une force réelle puisqu'il n'y a pas d'objet qui l'applique. Prenons l'exemple d'une voiture de 1000 kg suivant une courbe de rayon 20 m avec une vitesse de 15 m/s. La force centripète est $Fc = \frac{mv^2}{R}$. Notre force totale dans ce problème est donnée par le frottement $Fc = \mu Fn$ où $\mu$ est le coefficient de frottement et $Fn$ est la force normale. Comme nous l'avons dit plus haut, la force normale est égale à la force de gravité, de sorte que $Fn = mg$. En substituant ces éléments à l'équation de la force centripète, on obtient :$\mu = \frac{v^2}{gR} = \frac{15^2}{9,8 \times 20} = 1,15$. L'ampleur de la force centrifuge est $F{cf} = \frac{1000 \times 15^2}{20} = 11250 \text{ N}$.
Les centrifugeuses de laboratoire constituent une autre application majeure. Elles sont utilisées pour accélérer la précipitation des particules en suspension dans le liquide. Une utilisation courante de cette technologie est la préparation d'échantillons de sang pour analyse. La structure unique du sang facilite la séparation des globules rouges du plasma et des autres éléments formés par centrifugation différentielle. Sous la force de gravité normale, le mouvement thermique provoque un mélange continu qui empêche les cellules sanguines de se déposer sur un échantillon de sang total. Cependant, une centrifugeuse typique peut atteindre des accélérations 600 à 2000 fois supérieures à la gravité normale.
La NASA utilise également de grandes centrifugeuses pour préparer les astronautes à l'accélération extrême lors du lancement spatial. Lorsqu'une fusée est lancée, elle est tellement chargée de carburant qu'elle peut à peine bouger. Cependant, à mesure qu'il monte, il brûle du carburant à un rythme énorme, perdant continuellement de la masse. La deuxième loi de Newton stipule que la force est égale à la masse multipliée par l'accélération. Dans la plupart des situations, la masse reste constante. Avec une fusée, cependant, sa masse change radicalement, tandis que la force, dans ce cas la poussée des moteurs de fusée, reste presque constante. Cela fait que l'accélération vers la fin de la phase de boost augmente jusqu'à plusieurs fois celle de la gravité normale. Dans cette application, la force centripète est fournie par le dossier du siège poussant vers l'intérieur sur l'astronaute.
Distinction conceptuelle et terminologie
Il est essentiel de distinguer la force centripète de la force centrifuge. La première est la vraie force physique qui agit dans un référentiel galiléen, alors que la seconde est une force fictive observée depuis un référentiel non inertiel ou en rotation. Imaginez être assis dans un véhicule qui prend un virage. Vous ressentez une force qui semble vous pousser vers l'extérieur du virage. C'est cette sensation de poussée extérieure qui est interprétée comme la force centrifuge. Cependant, il s'agit simplement de l'inertie de votre corps tendant à continuer en ligne droite pendant que le véhicule change de direction.
En biologie, le terme centripète est également utilisé pour décrire un organe ou une structure qui se développe de la périphérie vers le centre. Par exemple, un phloème secondaire est centripète. Cette étymologie, signifiant "qui tend à rapprocher du centre", se retrouve dans la définition physique de la force : elle est la force nécessaire pour maintenir un objet en mouvement sur une trajectoire courbe et qui est dirigée vers l'intérieur vers le centre de rotation. Au contraire, la force centrifuge est définie comme la force apparente ressentie par un objet en mouvement dans un chemin incurvé qui agit extérieurement loin du centre de rotation.
Dans le cas d'un système rotatif, la force centripète tire la masse vers l'intérieur pour suivre un chemin incurvé, tandis que la masse semble pousser vers l'extérieur en raison de son inertie. Dans chacun de ces cas, cependant, il n'y a qu'une seule force réelle appliquée, tandis que l'autre n'est qu'une force apparente. Sans force centripète, l'objet ne peut pas tourner ou cesse de tourner. Si le fil d'une balle tournante casse, la balle cesse de tourner et poursuit par simple inertie un mouvement rectiligne, tangent à son ancienne trajectoire circulaire. Ce point de vue est celui d'un observateur situé en dehors du dispositif tournant. Dans un référentiel galiléen, un corps isolé possède, s'il est en mouvement, une trajectoire rectiligne uniforme. Lui faire parcourir une trajectoire elliptique revient le dévier constamment, et donc à lui appliquer à tout instant une force dirigée vers le centre de courbure.
Le caractère centripète d'une force n'est pas intrinsèque, mais lui est conféré par son effet sur la trajectoire de l'objet. Le vecteur vitesse est défini par la vitesse et la direction du mouvement. Si la résultante des forces appliquées à un objet est nulle, cet objet n'accélère pas et donc se déplace sur une ligne droite à vitesse constante : le vecteur vitesse est constant. Par contre, un objet qui se déplace à vitesse constante et dont la trajectoire est un cercle change en permanence de direction de mouvement. L'accélération dépend du rayon $r$ du cercle et de la vitesse $v$ de l'objet. Plus la vitesse est grande, plus l'accélération augmente, de même plus le rayon est petit, plus elle augmente. Là où $\omega = v/r$ est la vitesse angulaire, la force centripète doit être appliquée à une masse $m$ pour produire une telle accélération. L'expression ayant été formulée de différentes manières équivalentes, elle reste le pilier fondamental pour comprendre toute trajectoire courbe dans l'univers physique.
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