L'aménagement d'un jardin, la pose d'une clôture ou la réfection d'une pelouse, sont des tâches qui, à première vue, peuvent sembler purement pratiques. Pourtant, derrière chaque décision se cache une série de calculs mathématiques essentiels pour garantir la réussite du projet et maîtriser le budget. Que l'on soit un jardinier amateur ou un professionnel, la maîtrise des notions de périmètre et d'aire est fondamentale. Ces concepts, souvent abordés dès l'école primaire, trouvent des applications concrètes dans de nombreux aspects de la vie quotidienne, y compris l'entretien et l'embellissement des espaces verts. Cet article se propose d'explorer ces concepts à travers des problèmes pratiques liés au jardinage et à l'aménagement extérieur, en s'appuyant sur des exemples concrets allant du niveau CM1/CM2 jusqu'à des considérations plus complexes, afin de fournir un guide complet pour tous ceux qui souhaitent aborder ces défis avec méthode et précision.
Comprendre le Périmètre : Le Tour des Formes
Le périmètre est la mesure de la longueur du contour d'une figure plane. Il est particulièrement utile pour déterminer la quantité de matériel nécessaire pour border ou clôturer un espace.
Périmètre du Carré : Simple et Efficace
Un carré est une figure géométrique à quatre côtés égaux. Son périmètre est donc la somme de la longueur de ses quatre côtés.
- Formule : Périmètre = 4 × côté.
Pour illustrer, prenons l'exemple d'une salle polyvalente du quartier ayant la forme d’un carré de 22 m de côté. Son périmètre sera de 4 × 22 m = 88 m.Un maçon construit une bordure en ciment autour d’une piscine carrée. Si la dépense, pour le propriétaire, à raison de 15€ le mètre, est de 480 €, cela signifie que le périmètre total de la piscine est de 480 € / 15 €/m = 32 m. Par conséquent, la longueur d’un côté de la piscine est de 32 m / 4 = 8 m.Une table de salon, de forme carrée, avec un périmètre de 2.40 m, aura un côté mesurant 2.40 m / 4 = 0.60 m, soit 60 centimètres.Pour Noël, un commerçant entoure la vitrine carrée de son magasin d’une frise décorative longue de 10.20 m. La largeur de la vitrine correspond à la longueur d'un côté du carré, soit 10.20 m / 4 = 2.55 m.
Périmètre du Rectangle : Autour des Espaces Allongés
Le rectangle est une figure à quatre côtés, où les côtés opposés sont de même longueur. Son périmètre est la somme de la longueur de ses quatre côtés, ou plus simplement, deux fois la somme de sa longueur et de sa largeur.
- Formule : Périmètre = 2 × (longueur + largeur).
Si l'on doit remplacer la gouttière d’une maison rectangulaire de 14.20 m de long et 9.30 m de large, la longueur de gouttière à commander sera de 2 × (14.20 m + 9.30 m) = 2 × 23.50 m = 47 m.Un papa veut fabriquer un cadre rectangulaire de 40 cm de long et de 30 cm de large avec une baguette à 2.30 € le mètre. Le périmètre du cadre sera de 2 × (40 cm + 30 cm) = 2 × 70 cm = 140 cm, soit 1.40 m. Le coût de l’encadrement sera alors de 1.40 m × 2.30 €/m = 3.22 €.Pour clôturer un champ rectangulaire de 170 m de long et 120 m de large, avec trois rangées de fil de fer et une entrée de 3,50 m, le périmètre du champ est de 2 × (170 m + 120 m) = 2 × 290 m = 580 m. La longueur totale de fil de fer pour trois rangées, en soustrayant l'entrée, sera (580 m × 3) - 3.50 m = 1740 m - 3.50 m = 1736.50 m.Vingt-quatre élèves d’une classe confectionnent chacun un sous-verre rectangulaire de 25 cm de long et 18 cm de large. Le périmètre d'un sous-verre est de 2 × (25 cm + 18 cm) = 2 × 43 cm = 86 cm. S'ils estiment la perte par sous-verre à 10 cm, la longueur de galon nécessaire par sous-verre est de 86 cm + 10 cm = 96 cm. Pour 24 élèves, la longueur totale de galon à commander est de 24 × 96 cm = 2304 cm, soit 23.04 m.Un papa veut encadrer un tableau mesurant 80 cm de long et 50 cm de large d’une baguette de bois doré valant 3.50€ le mètre. Le périmètre du tableau est de 2 × (80 cm + 50 cm) = 2 × 130 cm = 260 cm, soit 2.60 m. Le coût de la baguette sera de 2.60 m × 3.50 €/m = 9.10 €.
Périmètre du Cercle (Circonférence) : Le Tour des Objets Ronds
Le périmètre d'un cercle, également appelé circonférence, dépend de son rayon ou de son diamètre.
- Formule avec le rayon : Circonférence = 2 × π × rayon.
- Formule avec le diamètre : Circonférence = π × diamètre.Où π (pi) est une constante mathématique approximativement égale à 3.14.
On veut entourer de grillage un puits circulaire de 1.15 m de rayon. La longueur de grillage à acheter sera de 2 × π × 1.15 m ≈ 2 × 3.14 × 1.15 m ≈ 7.226 m.La Terre a un diamètre, au niveau de l’équateur, de 12 761 km. La circonférence de l’équateur est de π × 12 761 km ≈ 3.14 × 12 761 km ≈ 40 066.54 km. Au kilomètre près par excès, la circonférence est de 40 067 km.Un panneau de signalisation routière a 27.5 cm de rayon. Son périmètre (en mètres) est de 2 × π × 27.5 cm ≈ 2 × 3.14 × 27.5 cm ≈ 172.7 cm, soit 1.727 m.Les rayons d’une bicyclette mesurent 27 cm. Le périmètre de chacune des roues (qui est la circonférence) est de 2 × π × 27 cm ≈ 2 × 3.14 × 27 cm ≈ 169.56 cm.Un tronc d’arbre a un diamètre de 0.8 m à un mètre du sol. Sa circonférence est de π × 0.8 m ≈ 3.14 × 0.8 m ≈ 2.512 m.Une roue de bicyclette a 55 cm de diamètre. Son périmètre est de π × 55 cm ≈ 3.14 × 55 cm ≈ 172.7 cm. Après 100 tours, la distance parcourue sera de 100 × 172.7 cm = 17270 cm = 172.7 m. Après 500 tours, la distance parcourue sera de 500 × 172.7 cm = 86350 cm = 863.5 m.
Maîtriser l'Aire : La Surface à Recouvrir
L'aire est la mesure de la surface occupée par une figure plane. Elle est essentielle pour calculer la quantité de peinture, de gazon, de carrelage ou de tout autre revêtement nécessaire.
Aire du Carré : La Surface Uniforme
Pour un carré, l'aire est le produit de la longueur d'un côté par lui-même.
- Formule : Aire = côté × côté (ou côté²).
Quelle est l’aire d’un échiquier composé de 64 cases de 3.5 cm sur 3.5 cm ? L'aire d'une seule case est de 3.5 cm × 3.5 cm = 12.25 cm². L'aire totale de l'échiquier est de 64 × 12.25 cm² = 784 cm².Une salle de classe a la forme d’un carré de 8 m de côté. L'aire de la classe est de 8 m × 8 m = 64 m². Si l'on estime que le maître et les élèves doivent disposer chacun de 2 m², le nombre maximal d'élèves que cette classe peut contenir est (64 m² / 2 m²/personne) - 1 (pour le maître) = 32 - 1 = 31 élèves.Un agriculteur cultive un champ carré de 175 m de côté. Son aire est de 175 m × 175 m = 30 625 m².Dans un album de photographies, sur une page blanche carrée de 35 cm de côté, on colle 4 photos carrées de 8 cm de côté. L'aire de la page blanche est de 35 cm × 35 cm = 1225 cm². L'aire d'une photo est de 8 cm × 8 cm = 64 cm². L'aire occupée par les 4 photos est de 4 × 64 cm² = 256 cm². L'aire de la surface blanche non utilisée est de 1225 cm² - 256 cm² = 969 cm².Un terrain carré mesure 43.5 m de côté. Son aire est de 43.5 m × 43.5 m = 1892.25 m². Si on le vend 150€ le mètre carré, son prix total est de 1892.25 m² × 150 €/m² = 283 837.5 €.Papa peint le plafond carré de la chambre dont le côté mesure 3.10 m. L'aire du plafond est de 3.10 m × 3.10 m = 9.61 m².
Aire du Rectangle : La Surface Rectiligne
L'aire d'un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur.
- Formule : Aire = longueur × largeur.
Une chambre rectangulaire mesure 3.70 m de longueur et 2.80 m de largeur. Son aire est de 3.70 m × 2.80 m = 10.36 m². Si une autre chambre rectangulaire mesure 3,70 m de longueur et 3 m de largeur, son aire est de 3.70 m × 3 m = 11.1 m².La cour d’une école a la forme d’un rectangle de 54.25 m de long et 17.5 m de large. L'aire de cette cour est de 54.25 m × 17.5 m = 949.375 m².Un terrain de basket mesure 26 m de longueur et 14 m de largeur. Son aire est de 26 m × 14 m = 364 m².Pour réaliser un dessus de lit, maman assemble 198 rectangles de tissus, mesurant chacun 24 cm de longueur et 12 cm de largeur. L'aire d'un rectangle de tissu est de 24 cm × 12 cm = 288 cm². L'aire du dessus de lit obtenu sera de 198 × 288 cm² = 57024 cm², soit 5.7024 m².Un jeune couple veut acheter un terrain rectangulaire de 42 m de long et 31 m de large. Son aire est de 42 m × 31 m = 1302 m². Si son prix de vente est fixé à 199 206 €, le prix du m² est de 199 206 € / 1302 m² = 153 €/m².Le père de Frédéric a vendu un terrain rectangulaire au prix de 155 040 €. Pour trouver son aire, il faudrait connaître le prix au mètre carré ou les dimensions du terrain.Dans un terrain rectangulaire de 180 m de longueur, si on élève 45 chevaux, pour savoir quelle surface est allouée à chaque cheval, il faudrait connaître la largeur du terrain.
Aire du Triangle : La Surface Triangulaire
L'aire d'un triangle est calculée en multipliant la base par la hauteur et en divisant le résultat par deux.
- Formule : Aire = (base × hauteur) / 2.
Une parcelle de terrain triangulaire a 30.5 m de base. La hauteur mesure le double de la base, soit 2 × 30.5 m = 61 m. L'aire de cette parcelle est de (30.5 m × 61 m) / 2 = 1860.5 m² / 2 = 930.25 m². Cette parcelle est vendue au prix de 18.50€ le mètre carré, donc le prix de vente de ce terrain est de 930.25 m² × 18.50 €/m² = 17 200.625 €.Un jardin a la forme d’un triangle rectangle ; un des côtés de l’angle droit mesure 25 m ; l’autre côté de l’angle droit mesure 3 m de plus, soit 25 m + 3 m = 28 m. Dans un triangle rectangle, les côtés de l'angle droit peuvent être considérés comme la base et la hauteur. L'aire de ce jardin est de (25 m × 28 m) / 2 = 700 m² / 2 = 350 m².Un champ a la forme d’un triangle de 95 m de base et 65 m de hauteur. Son aire est de (95 m × 65 m) / 2 = 6175 m² / 2 = 3087.5 m².Sur un triangle rectangulaire de 48 m de base et 35 m de hauteur, on construit une maison rectangulaire de 18.5 m de long et 12 m de large. L'aire totale du terrain triangulaire est de (48 m × 35 m) / 2 = 1680 m² / 2 = 840 m². L'aire de la maison rectangulaire est de 18.5 m × 12 m = 222 m². Le reste du terrain est ensemencé en pelouse, donc l'aire de cette pelouse sera de 840 m² - 222 m² = 618 m².
Calculer l'aire d'un triangle - Cinquième
Aire du Disque : La Surface Circulaire
L'aire d'un disque est calculée en multipliant π par le carré du rayon.
- Formule : Aire = π × rayon².
Un panneau publicitaire circulaire a un diamètre de 7 m. Son rayon est donc de 7 m / 2 = 3.5 m. Son aire est de π × (3.5 m)² ≈ 3.14 × 12.25 m² ≈ 38.465 m².Une table ronde de 1.10 m de diamètre a un rayon de 0.55 m. Son aire est de π × (0.55 m)² ≈ 3.14 × 0.3025 m² ≈ 0.94985 m². On lui ajoute, au milieu, deux rallonges rectangulaires mesurant chacune 0.40 m sur 1.10 m. L'aire d'une rallonge est de 0.40 m × 1.10 m = 0.44 m². L'aire des deux rallonges est de 2 × 0.44 m² = 0.88 m². L'aire totale obtenue est l'aire du disque plus l'aire des deux rallonges, soit 0.94985 m² + 0.88 m² = 1.82985 m².Une pelouse circulaire a 47.10 m de périmètre. Pour trouver son rayon, on utilise la formule du périmètre : 47.10 m = 2 × π × rayon. Donc, rayon = 47.10 m / (2 × π) ≈ 47.10 m / (2 × 3.14) ≈ 47.10 m / 6.28 ≈ 7.5 m. L'aire de cette pelouse est de π × (7.5 m)² ≈ 3.14 × 56.25 m² ≈ 176.625 m².Une table de salon circulaire a un rayon de 32 cm. Son aire est de π × (32 cm)² ≈ 3.14 × 1024 cm² ≈ 3215.36 cm².Pour décorer une petite table ronde de 50 cm de diamètre, maman confectionne un napperon d’un diamètre inférieur de 15 cm à celui de la table. Le diamètre du napperon est de 50 cm - 15 cm = 35 cm. Le rayon du napperon est de 35 cm / 2 = 17.5 cm. L'aire du napperon est de π × (17.5 cm)² ≈ 3.14 × 306.25 cm² ≈ 961.625 cm².Une piste de danse circulaire de 14 m de diamètre a un rayon de 7 m. Son aire est de π × (7 m)² ≈ 3.14 × 49 m² ≈ 153.86 m². Si elle est recouverte d’un parquet revenant à 130€ le mètre carré, le coût total sera de 153.86 m² × 130 €/m² = 20 001.8 €.
Calculs de Volume et d'Aire des Solides : Au-Delà des Surfaces Planes
Au-delà des surfaces planes, il est parfois nécessaire de calculer l'aire de surfaces tridimensionnelles (comme pour peindre un coffre) ou des volumes (pour remplir une fosse).
Aire du Cube ou du Pavé Droit : Surfaces Tridimensionnelles
L'aire totale des faces d'un cube est la somme de l'aire de ses six faces carrées. Pour un pavé droit, c'est la somme de l'aire de ses six faces rectangulaires.
- Formule pour le cube : Aire totale = 6 × côté².
- Formule pour le pavé droit : Aire totale = 2 × (longueur × largeur + longueur × hauteur + largeur × hauteur).
Calcule en cm² l’aire d’un gros dé carré de 50 cm d’arête. L'aire d'une face est de 50 cm × 50 cm = 2500 cm². L'aire totale des faces est de 6 × 2500 cm² = 15000 cm².L’aire totale des faces d’un cube est de 864 cm². Pour trouver la longueur d'une arête, on divise l'aire totale par 6 pour obtenir l'aire d'une face : 864 cm² / 6 = 144 cm². L'arête est alors la racine carrée de 144 cm², soit 12 cm.On enduit à mi-hauteur une fosse de forme cubique de 7 m d’arête, d’un produit imperméable coûtant 15€ le m². La fosse a 4 faces latérales et un fond. L'aire à enduire à mi-hauteur signifie que seule une partie des faces latérales est concernée. Si "à mi-hauteur" se réfère aux faces latérales, alors l'aire d'une face latérale est de 7 m × 7 m = 49 m². À mi-hauteur, cela pourrait signifier 7 m × (7 m / 2) = 24.5 m². Pour les quatre faces latérales, cela ferait 4 × 24.5 m² = 98 m². Le coût serait de 98 m² × 15 €/m² = 1470 €. Si "à mi-hauteur" signifie que seulement la moitié de l'aire totale des faces latérales est concernée, alors ce serait 2 × (7 m × 7 m) = 98 m². Il est important de clarifier le sens exact de "à mi-hauteur".Un papa veut fabriquer un bac à fleurs cubique dont l’arête sera de 45 cm. Il faut calculer le prix du bois nécessaire à 45€ le m². Un bac à fleurs est généralement ouvert sur le dessus, donc il n'a que 5 faces. L'aire d'une face est de 45 cm × 45 cm = 2025 cm². L'aire totale du bois nécessaire est de 5 × 2025 cm² = 10125 cm², soit 1.0125 m². Le prix du bois sera de 1.0125 m² × 45 €/m² = 45.5625 €.Papa veut vernir un grand coffre à jouets de 1.20 m de longueur, 0.80 m de largeur et 0.60 m de hauteur. L'aire totale à vernir est de 2 × (1.20 m × 0.80 m + 1.20 m × 0.60 m + 0.80 m × 0.60 m) = 2 × (0.96 m² + 0.72 m² + 0.48 m²) = 2 × 2.16 m² = 4.32 m².Calcule en cm² l’aire d’un gros dé carré de 30 cm d’arête. L'aire d'une face est de 30 cm × 30 cm = 900 cm². L'aire totale du dé est de 6 × 900 cm² = 5400 cm².
Volume du Cube ou du Pavé Droit : Remplir l'Espace
Le volume d'un cube est le produit de la longueur de son arête par elle-même trois fois. Le volume d'un pavé droit est le produit de sa longueur, de sa largeur et de sa hauteur.
- Formule pour le cube : Volume = côté × côté × côté (ou côté³).
- Formule pour le pavé droit : Volume = longueur × largeur × hauteur.
Une piscine rectangulaire mesure 12 m de long et a une aire de 72 m². Sa largeur est de 72 m² / 12 m = 6 m. Si on devait calculer son volume, il faudrait connaître sa profondeur.On enduit à mi-hauteur une fosse de forme cubique de 7 m d’arête. Le volume de cette fosse est de 7 m × 7 m × 7 m = 343 m³.
Conversion d'Unités : Une Étape Cruciale
Il est primordial de faire attention aux unités de mesure et de les convertir si nécessaire pour que les calculs soient corrects.
- 1 mètre (m) = 100 centimètres (cm)
- 1 mètre carré (m²) = 10 000 centimètres carrés (cm²)
- 1 décimètre carré (dm²) = 0.01 mètre carré (m²)
Il faut 12 dm² de papier transparent pour couvrir un livre de mathématiques. Pour couvrir les 26 livres de la classe, il faudra 26 × 12 dm² = 312 dm². En mètres carrés, cela représente 312 dm² × 0.01 m²/dm² = 3.12 m².Un terrain de 320 dam² est divisé en parcelles de 500 m². Il est important de convertir les unités pour qu'elles soient les mêmes. 1 dam² (décamètre carré) = 100 m². Donc, 320 dam² = 320 × 100 m² = 32 000 m². Le nombre de parcelles pouvant être vendues est de 32 000 m² / 500 m²/parcelle = 64 parcelles.
Problèmes Complexes et Consignes Spécifiques
Certains problèmes nécessitent une approche plus élaborée, combinant plusieurs calculs ou interprétant des consignes spécifiques.
Le Problème du Jardinier : Clôture et Gazon
Le problème initial du jardinier qui souhaite mettre une clôture avec un portillon et refaire entièrement le gazon est un excellent exemple de l'application de toutes ces notions. Sans le dessin du jardin, nous devons nous fier aux informations fournies par les utilisateurs dans la conversation. Si le jardin est un rectangle avec une largeur de 40 (sans unité spécifiée, supposons des mètres) et une longueur de 30 (mètres), alors :
- Périmètre de la clôture : 2 × (40 m + 30 m) = 2 × 70 m = 140 m. Si un portillon est inclus, sa longueur doit être soustraite de la clôture totale pour déterminer la quantité de matériel. Par exemple, si le portillon fait 1 mètre, la clôture à acheter serait de 140 m - 1 m = 139 m.
- Aire du gazon : 40 m × 30 m = 1200 m².Le coût total dépendra du prix au mètre de la clôture et du prix au mètre carré du gazon ou de sa pose.
Problèmes avec des Formes Combinées
Parfois, les surfaces à calculer ne sont pas de simples carrés, rectangles ou cercles, mais des combinaisons de ces formes. Par exemple, un jardin qui serait rectangulaire avec un demi-cercle.Si l'on considère un rectangle de 40 de largeur et 30 de longueur (en unités non spécifiées, probablement des mètres, comme dans l'exemple du jardinier) avec un demi-cercle attaché.
- Aire du rectangle : 40 × 30 = 1200.
- Aire du demi-cercle : Si le diamètre du demi-cercle est la largeur du rectangle (40), alors son rayon est de 20. L'aire du cercle complet serait π × rayon² = π × 20² = 400π. L'aire du demi-cercle serait de 400π / 2 = 200π ≈ 200 × 3.14 = 628. L'aire totale serait alors de 1200 + 628 = 1828.
- Périmètre du demi-cercle : La circonférence d'un cercle complet avec un diamètre de 40 est de π × 40 = 40π. La longueur de l'arc du demi-cercle est de 40π / 2 = 20π ≈ 20 × 3.14 = 62.8. Le périmètre de la forme combinée inclura les trois côtés du rectangle et l'arc du demi-cercle (sans le côté du rectangle qui est aussi le diamètre du demi-cercle). Si le demi-cercle est sur un côté de 40 du rectangle, alors le périmètre serait 30 + 40 + 30 + (20π) = 100 + 62.8 = 162.8.
Ces exemples démontrent l'importance d'une lecture attentive des énoncés et d'une application rigoureuse des formules mathématiques.